Joseph-Louis Lagrange (25 Ocak 1736 – 10 Nisan 1813)

        

Lagrange’ın yaptığı çalışmalar ve verdiği eserler; makaleler, kitaplar ve yazışmalar şeklinde çeşitlendirilebilecektir. O’nun en başta konu edilmesi gereken baş yapıtı, henüz genç yaşlarında yazmaya başladığı Analitik Mekanik (Analytique Mécanique) adlı kitabıdır.

        Lagrange’ın bazı sıkıntılı dönemlerine karşın iyi olduğu zamanlar ortaya koymuş olduğu çalışmalar yeteri kadar doyurucudur. Bunların içinden bazıları çok önemli çakışmalar olup, O’nun ününe ün katmıştır. 

        Bunlardan bir kısmı da Astronomi ile ilgilidir.Astronomi’ye ilişkin çalışmalarının başında, çok genç yaşlarda iken ilgi duyduğu bir konu gelmektedir: Ay’ın kendi ekseni etrafındaki hareketi… Bu konudaki çalışması ve verdiği çözüm, 1764 yılında O’na Paris Bilimler Akademisi birincilik ödülünü kazandıracak kadar başarılıdır.

        Bir ara Gök Mekaniği ile ilgilenmekte, bu arada ünlü eserini yeniden gözden geçirmektedir. Bu konuda daha hassas ve ince işler yapmaya yönelmiştir. Yine Berlin’de olduğu bir zamanda Aritmetik ve Asal Sayılar ile ilgilenmeye başlamıştır.O, bu çalışmaları sırasında Fermat’ya ait olduğu bilinen birkaç teoremi de kanıtlamış bulunmaktadır. Bir de John Wilson’a ( 1741-1793) ait olduğu bilinen bir teoremi de kanıtlamıştır.O’nun bir çalışmasının da cebir ile ilgili olduğu görülmüştür. 1767 yılındaki bir bildirisi Sayısal Denklemlerin Çözümüne Dair (Sur La Solution des Equations Numérique) adını taşımaktadır.

        Matematik için bir şeyler vermek için gayretli çalışmalar O’na iki önemli eser kazandırmıştır: 

•   Bunlardan ilki 1797’de ortaya çıkan Analitik Fonksiyonlar Teorisi (Théorie des Fonctions Analytiques), 
•  1801’de kaleme aldığı Fonksiyonların Hesabına Dair Dersler (Leçons sur le Calcul des Fonctiones)’dir. 

         Bu eserler de başta Cauchy gibi, kendinden sonra gelen bir çok matematikçiye ilham kaynağı olmaya devam edecektir.

          O’nun son çabası, ilk eseri Analitik Mekanik’i yeniden gözden geçirip yenilemek isteğiydi. Bu çalışmaya başlamışsa da yarıda bırakmak zorunda kalacaktır. Artık 70’li yaşları sürmektedir ve eski enerjisi yoktur. Giderek kafası, vücuduna ayak uyduramayacak hale gelecektir.O’nun çalışma dünyasından geri kalanlar bunlarda ibaret değildir.

         Bu çalışmalar içinde yer alan ve bir kısmı günümüzde de güncel olan ve adını vermiş olduğu bazı matematiğe ilişkin buluşları vardır ki onlardan söz etmeden geçmek eksiklik olacaktır. Bunlar başlıklar halinde aşağıya çıkarılmıştır. 

• O’nun adıyla anılan Lagrange Diferansiyel Denklemi, Lagrange Interpolasyon Formülü,
•  Lagrange Kalanı, Lagrange Dönüşümü ve 
• Lagrange Yöntemi bunların içinde özellikle dikkati çekenleridir.

Michelle Rolle (1652-1719)

1652 yılında Ambert kentinde doğan Fransız  matematikçinin çalışma alanı cebir’dir.Matematik literatüründe kendi adıyla anılan ve matematik analizin önemli teoremlerinden sayılan O’nun teoremi şudur:

“ [a,b]  üzerinde tanımlanmış, ]a,b[  üzerinde türevlenebilir ve f(a)=f(b) olan bir fonksiyon için, f’(c)=0  olacak biçimde, ]a,b[ aralığında en az bir c gerçek değeri (sayısı) vardır.”

Bu teorem,

                                         

koşuluyla, bir [a,+∞ [  aralığına genelleştirilebilecektir.Bu teorem yine matematik analiz için çok önemli bir teorem olan Ortalama Değer Teoremi’nin oluşmasına yaramıştır.Bu teorem şöyle ifade edilmiştir:

“ f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında sürekli ve bunun iç kısmında türevi mevcut ise aralık içinde öyle bir c değeri vardır ki

dır.”

Bu teoremin dışında, düzgün bölge, konkav ya da konveks eğri, süreklilik,iç nokta, dış nokta gibi birçok tanım ve kavram O’nun tarafından matematiğe kazandırılmıştır.

1690 yılında yayımlanmış olan Cebir İncelemesi adlı kitabında Düşürüm Yöntemi’nden söz etmekte ve nasıl uygulanacağını da anlatmaktadır.Rolle bir yandan da Sonsuz Küçükler Hesabı’na da karşı çıkmaktadır.1719 yılında Paris’te ölmüştür.

Matematiği Yöneten Düşünür: DESCARTES [1596-1650]

     Modern felsefenin ve birçok yönden modern matematiğin ve matematiksel fiziğin babası olduğu yaygın olarak kabul edilen Fransız bilim adamı Descartes, tüm çağların en büyük matematikçi ve filozoflarındandır.

Descartes’ in Yaşam Öyküsü

     René Descartes, 31 Mart 1596 günü Fransa’ da Tours kenti La Haye kasabasında dünyaya gelmiştir. 10 yaşında La Fléche’ deki Cizvit kolejine yazılır. Descartes’ deki yeteneği sezen okul müdürü Pére Charlet, ona bazı ayrıcalıklar tanımıştır.1614-1616 yılları arasında Paris’ deki Poitier Üniversitesi hukuk fakültesinde okumuştur. Burada tanışmış olduğu matematik tutkunu Marin Mersenne Descartes’ in giderek matematiği daha iyi tanımasını ve benimsemesini sağlamıştır. Asker olarak kayıt olduğu Hollanda birliğinde, birkaç yıl geçiren Descartes, görevi sırasında, matematik ve fizik konularındaki yaratıcı yeteneğinin farkına varmasını sağlayacak kişi olan Isaac Beeckman'la tanıştı. İsveç Kraliçesi Christina'nın ricasını kırmayarak, ona uzmanı olduğu konularda ders vermek üzere Stockholm'e yerleşti. Ancak kraliçenin talebi doğrultusunda derslerin, sabahın oldukça erken saatlerinde yapılması nedeniyle, hayatı boyunca geç kalkmaya alışkın olan Descartes’in fizyolojik dengesi bozuldu. Bunun yanı sıra, yabancısı olduğu aşırı soğuk iklime uyum sağlayamayan vücudu bitkin düşerek zatürreeye yakalandı ve ünlü düşünür, 11 Şubat 1650 tarihinde, 54 yaşında hayatını kaybetti.

Descartes’ in Yöntem Anlayışı ve Metodoloji

  Descartes, tüm çalışmalarında ve araştırmalarında, doğru bilgiye ulaşmak amacıyla, karmaşıklıktan uzak durmaya ve her şeyi basite indirgemeye çalışmıştır. Bulduğu her bilgiye kuşkucu bir tavırla yaklaşmıştır. Bu konudaki düşüncelerinden sonra, bir Yöntem bulması için karar vermiştir. . Yöntemin özelliklerini şöyle açıklamıştır:

“  Gerçeği araştırırken: -Her şeyden kuşkulan,

-Kendi gözlemlerinden başkasına güvenme,

-Kendi gözlemlerine de güvenme; asıl olan soyutlamadır, tümden gelimdir.”

bu oluşumun adımlarına, aşağıda belirtilen adlar verilerek, şöyle tanımladıkları görülmektedir:

1-       Apaçıklık Kuralı: Doğruluğu apaçık meydanda olmayan hiçbir fikri gerçek diye kabul etmemek.(Bu kuşkuculuk kuralı olarak da adlandırılır.)

2-       Analiz Kuralı: Güçlüklerin her birini daha iyi ve daha kolay çözülebilmeleri için daha küçük parçalarına ayırarak incelemek.

3-       Sentez Kuralı: Basit ve tanınması en kolay fikirlerden başlayarak daha karmaşık fikirlere doğru yönelmek.

4-       Kontrol Kuralı: Hiçbir şeyin savsaklanmadığına güvenir olmak için, kontrol ve saymalar yapmak.

Descartes’in Çalışma Alanları ve Eserleri

Descartes’in başlıca eserleri şunlardır:

-           Compendium musicae ( Müzik Özeti) [1618]

-           Traité de Métaphysique (Metafiziğin İncelenmesi) [1629]

-           Regulead ad Directionen ingenii (Zihnin Yönetimi İçin Kurullar) [1631]

-           Traité du Monde ou de la lumiere (Dünya ya da Işığın İncelenmesi) [1633]

-           Discours de la méthode, plus la dioptrique, les météores et la géometrie qui sont les essaias de cette méthode ( Yöntem Hakkında Söylemler ve Bu Yöntemin Denemeleri Olan Dioptri, Meteorlar ve Geometri) [1617]

-           Méditations de prima philosophiae (İlk Felsefe ile İlgili Düşünceler ) [1641]

-           Principia philosophiae (Felsefenin İlkeleri) [1644]

-           Les passions de l’ame (Ruhun tutkuları) [1649]

L’homme et traité de la formatio du foetus (İnsan ve Cenin Oluşumu Üzerine İnceleme) [1664] 

Descartes ve Matematiksel Yönü

        Descartes’in Kartezyen koordinat sistemini kullanarak, cebir dilini geometriye uygulayıp bulduğu bu yönteme analitik geometri denmiştir. Analitik geometriyi Descartes Çözümsel Geometri kitabında, “ Geometrinin cebirsel ve analiz yöntemler katılarak, çözümlenmesi…” şeklinde açıklamıştır. Analitik problemlerini cebir denklemelerine çevirdi. Bunlar cebirle çözümlendikten sonra geometri diliyle açıkladı. Birçok fizik probleminin çözümü de bu yöntemle kolaylaşmış oldu. Ayrıca matematiksel ve geometrik problemlerin çözümü için kurulan denklemlerde, "x, y, z" gibi alfabenin çok kullanılmayan son harflerini bilinmeyen çoklukları, "a, b, c" gibi çok kullanılan ilk harfleri de bilinen çoklukları ifade etmesi için kullanmıştır.

Descartes’in Bazı Özel Çalışmaları

Descartes Abağı

Descartes Abağı, bir düzlemsel eğriler sistemidir. Genellikle ᴦ_k ile gösterilir. Bu sistem üç dik açılı bir üç düzlemliye aktarılmış üç boyutlu uzayın F(x, y, z) = 0 denklemiyle belirtilen bir yüzeyinin, denklemleri z=k olan düzlemlerle yaptığı ara kesitlerin Oy düzlemi üstündeki izdüşümünü gösterir. Bunların tümü Oy düzleminin kod damasında bir araya getirilmiştir. İki değişkenin özel değerleri bilindiğinde, üçüncüyü karşılayan değer, grafik yoldan belirlenebilir.

Descartes Yaprağı

Descartes yaprağı, geometride bir özel şekle verilen addır.Şekli yanda görülmekte olup kartezyen koordinatlara göre denklemi

  x³+y^3-3axy=0 dır.

Descartes Ovali

Bir geometri şekli olarak Descartes tarafından incelenmiş ve yorumlanmıştır. k ve c gerçel değişmezler olmak üzere r+kr’=c ile tanımlanmıştır.

Descartes’in Kırılma ve Yansıma Yasaları

   Işığa ait iki temel yasaları formüle dökmüştür. O’nun oluşturduğu fizik yasaları şöyledir:

1)       Gelen ışın, yansıyan ışın, kırılan ışın ile ayırma yüzeyinin gelme noktasındaki normali ile aynı bir düzlem içinde bulunurlar.

2)       Yansıyan ışın, bu normale göre gelen ışınla bakışımlıdır.

3)       Gelme açısı i ve kırışma açısı r arasında sin i =n.sin i r bağıntısı vardır. Burada n, ikinci ortamın birinci ortama göre kırılma indisidir.

Cebir Kavramı Üzerine İlk Yaklaşımlar

                                                  

    El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele adlı ünlü eser çeviri yoluyla yeniden yazılırken hayli güçlüklerle karşılaşıldığı anlaşılmaktadır.Latinceye yapılan çevirisi sırasında,kitapta yer alan bazı teknik terimlerin karşılıkları o dilin sözcükleri arasında olmayınca,bunların karşılıklarını bulmak ve  yazmak,çevirmenler için bir sorun yaratmıştır.Yani terminoloji eksikliği ya da uyumsuzluğu buna neden olmuştur.Latince çeviriler yapılırken ,karşılıkları bulunamayan bu iki terim çevirilerde aynen korunmuş ve “cebir” ve “mukabele”sözcükleri birer yabancı sözcük olarak Latinceye karışmıştır.Ayrıca Avrupa,cebirin konularını özgün olarak kendisi yapmaya başladığı zaman  “cebir” sözcüğünü hazır bulduğu bir terim olarak terketmemiş ve kendi diline uygun olarak Fransızca’da Algèbre ve İngilizce’de Algebra şeklini almıştır.Bu kitaptaki deyimlerle ilgili önemli bazı açıklamaları Muhammed Bin-i HüseyinBahaüüdin Amili adlı matematikçinin yazmış olduğuHülasatül-hisab adlı eserinde yaptığı anlaşılmaktadır.1843 yılında almanca çevirisiyle birlikte yayımlanan bu eserde açıklamalardan bazıları şunlardır: “Cebir işlemi-denklemin menfi(negatif)bir miktarı içeren tarafının tamamlanmasıdır. ”;“Mukabele-denlemin her iki tarafındaki eşit ve homogen(mütecenis)olan kısımlarının ortadan kaldırılması (bertaraf edilmesi)demektir.”demektir.O çağdaki matematikçilerce henüz menfi terim kavramı bilinmemektedir.Bir denklemde bu gibi terimlerle karşılaşıldığında,bunun ortaya çıkardığı düzensizliği gidermek gerektiğini düşünüyorlar bunun adına cebir diyorlardı.Denkelem içinde kesir halinde çarpanlar görülürse bunu ortadan kaldırmak için yapılacak iş cebir oluyordu.Buna karşın uzakdoğunun ünlü matematikçileri Aryabhata ve Brahmagupta’nın,cebir konularında yaptıkları çalışmalarla özelliklede “Diyofant denklemler”le ilgili çalışmalarında, El-Harezmi den çok önce bazı sonuçlara ulaştıkları bilinmektedir.Ancak onların çalışmalarında yinede sınırlı olan kısımlar vardır.Örneğin ikinci dereceden cebirsel denklemin köklerinden söz etmektedirler.Ancak sadece, Δ>0 haline karşılık gelen reel iki kökünbulunabileceği durumu incelemektedirler,hepsi o kadar.Düzgün olmayan denklemler içinde bazı incelemeler yaptıkları görülmektedir.Bazı yorumlara göre ,El-Harezmi çalışmalarını yaparken bu matematikçilerin çalışmalarından yararlandığından söz edilmektedir.10. yüzyılda yaşayan ve tüm dünyaya isminin (El Harezmi – Al Khrawarizmi) Latince telaffuzunu “algoritma” olarak zikrettiren bu  Müslüman Türk alimi, cebir matematiğinin de kurucusudur. Zaten cebir kelimesi de Harezmi’nin (El Kitab’ül Muhtasar Fi Hisab’il Cebri ve’l Mukabele ) “Cebir ve denklem hesabı üzerine özet kitap”  adlı eserinden gelir. Harezmi, cebir denklemlerinin çözümünde kare ve diktörgen şekillerden yararlanır. Denklem çözümlerinde bu geometrik şekilleri kullandığından , denklemlerde hep artı işaretli terimler göz önünde tutulur.Kare bilinmeyeni, dikdörtgen ise bilinmeyenin sabit bir katını temsil eder. Denklem çözümleri daima pozitif değerler içindir. El-Harezmi, ikinci dereceden denklemlerin çözülmesi için geometrik modeller de kullanır.Fakat bu çözümleme yöntemleri, malesef ki Türkiyede neredeyse hiç bir ders kitabında gösterilmez.  İkinci derece denklemlerin çözümünü çok sade, anlaşılır  ve sistematik biçimde yazmıştır. Çözümleri adım adım sistemli bir sıra ile vermiş olması, – isminin Latince telaffuzu ile -  ‘algoritma’ yöntemlerinin ortaya çıkması sağlamıştır.  Günümüzde dünyasının vazgeçilmez parçası bilgisayarların programlama dilleri,Harezmi’nin algoritmik yöntemleri esas alınarak yazılmaktadır.  Dolayısı ile günümüz programcılığının ve daha bir çok şeyin temelinde Harezmi’nin de olduğunu söylemek mümkündür. Ebul Vefa,matematik sahasında,özellike trigonometri üzerinde çalışmalar yapmıştır.Trigonometrinin altı esas oranı arasındaki trigonometrik münasebetleri ilk defa ortaya koymuştur.Bu oranlar,günümüzde aynen kullanılmaktadır.Ebul Vefa'nın matematik tarihinde ortaya koyduğu ilk trigonometrik özdeşliklerden bazıları şunlardır:Sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)Cos(2a)=1-2sin2(a)Sin(2a)=2*sin(a)*cos(a)Ayrıca küresel trigonometride sinüs teoremini açıklamıştır: Ebul Vefa,Habeş el-Hasib ve el-Mervezi gibi önemli matematikçileri izleyerek tanjant ve sekant fonksiyonlarını tanımladı. Sekant kaşifi olarak genellikle Kopernik bilinirse de,ünlü bilim tarihçilerinden Monte Candon ve Carra de Vaux'un araştırmaları sonucu bu buluşun Ebul Vefa'ya ait olduğu tespit edilmiştir.Trigonometrinin yanında cebir ilmi üzerinde derinlemesine çalışmalarda bulunan Ebul Vefa,o zamana dek bilinmeyen dördüncü dereceden denklemlerin çözümünü gerçekleştirdi.Örneğin:X4+pX3 =r denklemini çözerken

y3+axy+b=0 ve X2-Y=0  koniklerinin kesişmesinden istifade etti.Eski Yunanlıların ve Hintlilerin çözemediği birçok problemi geometirk yollarla çözmeyi başardı.Gerçek eseri macestisidir